Отношение упорядоченности. Отношение порядка. Отношения нестрогого слабого порядка

Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у » на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами:

1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе;

2) симметричности, т.к. если студент х у , то и студент у является однокурсником студента х ;

3) транзитивности, т.к. если студент х - однокурсник у , а студент у – однокурсник z , то студент х будет однокурсником студента z .

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств.

Отношением эквивалентности являются также, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур. Каждое такое отношение связано с разбиением множества на классы.

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х , порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности?

Построим граф данного отношения: (самостоятельно)

Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классыэквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х 1 = {3; 6}, Х 2 = {1; 4; 7}, Х 3 = {2; 5; 8}.

Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.

В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например, «выражения х и у имеют одинаковые числовые значения», «фигура х равна фигуре у ».

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и асимметрично или антисимметрично.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно транзитивно и асимметрично.

Примеры отношений строгого порядка: «больше» на множестве натуральных чисел, «выше» на множестве людей и др.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением нестрогого порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Примеры отношений нестрогого порядка: «не больше» на множестве действительных чисел, «быть делителем» на множестве натуральных чисел и др.

Определение. Множество Х называют упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Пример . На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5} заданы два отношения: «х £ у » и «х – делитель у ».

Оба эти отношения обладают свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности (постройте графы и проверьте свойства самостоятельно), т.е. являются отношением нестрогого порядка. Но первое отношение обладает свойством связности, а второе – нет.

Определение. Отношение порядка R на множестве Х называется отношением линейного порядка, если оно обладает свойством связности.

В начальной школе изучаются многие отношения порядка. Уже в первом классе водятся отношение «меньше», «больше» на множестве натуральных чисел, «короче», «длиннее» на множестве отрезков и др.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х .

2. Как записать утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R ?

3. Перечислите способы задания отношений.

4. Сформулируйте свойства, которыми могут обладать отношения. Как данные свойства отражаются на графе?

5. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением эквивалентности?

6. Как отношение эквивалентности связано с разбиением множества на классы?

7. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением порядка?

План лекции №14 Классификация бинарных отношений

1. Классификация антисимметричных отношений
2. Классификация рефлексивных отношений
2.1. Отношения квазипорядка
2.2. Отношения нестрогого частичного порядка
2.3. Отношения нестрого упорядочения
2.4. Нестрогий качественный порядок
2.5. Нестрогий слабый порядок
2.6. Нестрогий порядок
3. Двойственность отношений строгого и нестрогого порядка
4. Обзор свойств различных видов отношений

Классификация антисимметричных отношений

Структура графов ациклических отношений

Структура графов отношений качественного порядка

Структура графов отношений слабого порядка

Отношения строгого порядка

Строгим порядком (строгим предпочтением, сильным порядком, строгим линейным порядком) называется антирефлексивное, транзитивное, слабосвязное бинарное отношение (12).

Строгий порядок является частным случаем слабого порядка (строгого частичного предпочтения) с дополни-тельным условием слабосвязности.

Пример: Отношение "строго меньше" на множестве целых чисел.

Классификация рефлексивных отношений

Отношения квазипорядка

Эти бинарные отношения позволяют сравнивать элементы некоторого множества, но не по сходству, а путем расположения элементов групп в некотором порядке, т.е. путем частичного упорядочивания.

Квазипорядком (нестрогим частичным предпочтением) называется рефлексивное и транзитивное бинарное отношение (3).

Пример: "быть братом" (Иван-Петр, Андрей-Анна)

Свойства квазипорядков

1. Пересечение квазипорядков остается квазипорядком.
2. Симметричная часть квазипорядка обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности и поэтому является отношением эквивалентности. R с = R / R инв
3. С помощью этого пересечения можно выделить группы эквивалентных между собой вариантов, тогда между выделенными группами может быть установлено отношение нестрогого частичного порядка, порожденное исходным отношением.
4. Асимметричная часть квазипорядка является транзитивным и антирефлексивным отношением = качественный порядок.

Отношения нестрогого частичного порядка

Отношением нестрогого частичного порядка (4) называется отношение, имеющее свойства рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Нестрогий частичный порядок является антисимметричным квазипорядком

Пример: отношение "быть частью", определенное для множеств (и их подмножеств)

Свойства нестрогих частичных порядков

1. Пересечение нестрогих частичных порядков остается нестрогим частичным порядком.
2. Симметричная часть нестрогого частичного порядка является диагональю.
3. Асимметричная часть нестрогого частичного порядка является (строгим) качественным порядком.
4. В теории интеллектуальных систем важную роль играют частично упорядоченные множества – домены вместе с определенными на них отношениями нестрогого частичного порядка.
5. Частично упорядоченные множества с дополнительным свойством существования у каждой пары элементов верхней и нижней граней называются решетками. Частным случаем решеток являются булевы алгебры.

Отношения нестрогого упорядочения

Нестрогим упорядочением называется рефлексивное отношение, обладающее свойством слабосвязности (5).

Нестрогое упорядочение можно определить также как полносвязное отношение.

Отношение нестрогого упорядочения можно представить как результат объединения некоторых отношений толерантности и доминирования.

Свойства отношений нестрогого частичного упорядочения

1. Пересечение и объединение полносвязных отношений остается полносвязным отношением.
2. Симметричная часть нестрогого частичного упорядочения является толерантностью.
3. Асимметричная часть нестрогого частичного упорядочения является доминированием.
4. Для полносвязных отношений необходимым условием транзитивности является негатранзитивность отношения.
5. Для полносвязных отношений свойство транзитивности является достаточным условием негатранзитивности отношения.

Отношения нестрогого качественного порядка

Бинарное отношение R называется нестрогим качественным порядком, если оно негатранзитивно и полносвязно (6).

Нестрогий качественный порядок является негатранзитивным нестрогим упорядочиванием.

Отношение нестрогого качественного порядка можно представить как результат объединения некоторых отношений толерантности и качественного порядка.

Свойства отношений нестрогого качественного порядка

1. Симметричная часть нестрогого качественного порядка является толерантностью. НТ?
2. Асимметричная часть нестрогого качественного порядка транзитивна, поэтому является отношением качественного порядка.
3. Таким образом, отношение нестрогого качественного порядка можно представить как результат объединения отношений толерантности и качественного порядка, порожденных исходным отношением.
4. Двойственное отношение обладает свойствами асимметричности и транзитивности поэтому является отношением качественного порядка.

Отношения нестрогого слабого порядка

Нестрогим слабым порядком называется полносвязное транзитивное и негатранзитивное отношение (7).

Нестрогим слабым порядком называется полносвязное транзитивное отношение.

Нестрогим слабым порядком называется транзитивное нестрогое упорядочение.

Свойства отношений нестрогого слабого порядка

1. Симметричная часть нестрогого слабого порядка является эквивалентностью.
2. Асимметричная часть R ас нестрогого слабого порядка транзитивна, поэтому является отношением качественного порядка.
3. Таким образом, отношение нестрогого слабого порядка можно представить как результат объединения отношений эквивалентности и слабого порядка, порожденных исходным отношением.
4. Нестрогий слабый порядок можно представить в виде множества частично упорядоченных слоев, каждый из которых является классом эквивалентности.

Отношения нестрогого (линейного) порядка

Нестрогим порядком (нестрогим линейным порядком) называется антисимметричное, транзитивное, полносвязное бинарное отношение (8).

Нестрогим порядком называется антисимметричный нестрогий слабый порядок.

Нестрогим порядком называется антисимметричное нестрогое упорядочение.

Свойства отношений нестрогого линейного порядка

1. Симметричная часть нестрогого порядка является диагональю.
2. Асимметричная часть R ас нестрогого порядка транзитивна и слабосвязна, поэтому является отношением строгого порядка.
3. Двойственное отношение обладает свойствами асимметричности, негатранзитивности и слабосвязности поэтому является отношением строгого порядка. Кроме того оно совпадает с R ас.
4. Таким образом, отношение нестрогого порядка можно представить как результат объединения диагонали и строгого порядка, порожденных исходным отношением.

Двойственность отношений строгого и нестрогого порядка

Обзор свойств различных видов отношений

Пусть R - бинарное отношение на множестве А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка на А или порядком на А, если оно транзитивно и антисимметрично.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение порядка R на множестве А называется нестрогим, если оно рефлексивно на А, т. е. для всякого из А.

Отношение порядка R называют строгим (на А), если оно антирефлексивно на А, т. е. для любого из А. Однако из антирефлексивности транзитивного отношения R следует его антисимметричность. Поэтому можно дать следующее эквивалентное определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение R на множестве А называется строгим порядком на А, если оно транзитивно и антирефлексивно на А.

Примеры. 1. Пусть - множество всех подмножеств множества М. Отношение включения на множестве есть отношение нестрогого порядка.

2. Отношения на множестве действительных чисел являются соответственно отношением строгого и нестрогого порядка.

3. Отношение делимости во множестве натуральных чисел есть отношение нестрогого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением предпорядка или предпорядком на А, если оно рефлексивно на и транзитивно.

Примеры. 1. Отношение делимости во множестве целых чисел не является порядком. Однако оно рефлексивно и транзитивно, значит является предпорядком.

2. Отношение логического следования является предпорядком на множестве формул логики высказываний.

Линейный порядок. Важным частным случаем порядка является линейный порядок.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение порядка на множестве называется отношением линейного порядка или линейным порядком на , если оно связанно на , т. е. для любых х, у из А

Отношение порядка, не являющееся линейным, обычно называют отношением частичного порядка или частичным порядком.

Примеры. 1. Отношение «меньше» на множестве действительных чисел есть отношение линейного порядка.

2. Отношение порядка, принятое в словарях русского языка, называется лексикографическим. Лексикографический порядок на множестве слов русского языка есть линейный порядок.

2) отношение на множестве Х называется отношением строго порядка , если оно антисимметрично и транзитивно. Отношение называется антисимметричным , если из того, что а находится в отношении с в не следует, что в находится в отношении с а (а, в ∈ Х, а R в → в R а) R – находиться в отношении. Отношение называется транзитивным , если для любых элементов а, в, с из того, что а R в и в R с → что а R с, а, в, с ∈ Х. Например: отношение «больше, меньше». Множество, на котором задано отношение строгого порядка, называется упорядоченным множеством.

3) отношение на множестве Х называется отношением не строгого порядка , если оно рефлексивно, ассиметрично и транзитивно. Например: отношение ≥ ≤. Если отношение порядка обладает свойством связности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка . Отношение называется связанным на множестве Х, если для любых элементов х и у выполняется условие: из того, что х ≠ у следует, что х R у или у R х. Если на множестве задано отношение линейного порядка, то оно линейно упорядочивает данное множество.

5. Множество действительных чисел. Его свойства . К расширению множества рациональных чисел привела необходимость измерения длин отрезков, площадей и т.д. В основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном (предметом или явлением), величина которого имеет численное значение, равное 1, но не всегда единичный отрезок вкладывается в измеряемом объекте. Поэтому при измерении делают 2 допущения, которые в математике определились как аксиомы: 1) Единичный эталон можно разделить на любое число равных между собой долей или частей. 2) Выбранным эталоном можно измерять любой как угодно большой объект. Для отрезков эти аксиомы сформулировал Архимед: Как бы ни был мал отрезок АВ и как бы ни был велик отрезок СД, существует такое натуральное число N, что N*AB>CD, если в измеряемом отрезке CD уложилось равное число отрезков АВ, то длина отрезка CD выражается натуральным числом. Если в измеряемом отрезке CD отрезок АВ укладывается неравное число раз, то АВ разбиваем на 10 одинаковых отрезков, называемых десятой долей эталонов. При необходимости десятая доля может разбиваться на 10 равных частей и т.д. Если в отрезок CD укладывается равное число 10, 100 и т.д. долей отрезков АВ, то длина отрезка CD выражается рациональным числом. Однако не всегда длина отрезка может выражаться натуральным или рациональным числом. Существуют несоизмеримые отрезки, т.е. отрезки, длина которых не выражается рациональным числом. (теоремы смотри вопрос 32)

Числа, которые могут быть представлены в виде бесконечных десятичных непериодических дробей называется иррациональными. Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел есть множество действительных чисел ().

Свойства множества действительных чисел . 1). Множество точек числовой оси равномощно множеству действительных чисел.

0 М 1 Возьмем на отрезке от 0 до 1 любую точку М,

Д проведем полуокружность с центром в

Середине этого отрезка и радиусом

К О С равным половине его. Проведем перпендикуляр из М до пересечения с полукругом. Получим Д. Эта точка единственная, так как полукруг и прямая пересекаются только в одной точке. Из середины данного отрезка через Д проведем прямую до пересечения с числовой осью. Получим К, которая определяется единственным образом, так как де прямые пересекаются только в одной точке. Выбирая другую произвольную точку на заданном отрезке и повторяя весь процесс получим, что любой точке отрезка от0 до 1 соответствует единственная точка числовой прямой. Рассуждая в обратном порядке можно показать, что любой точке числовой прямой также соответствует единственная точка от 0 до 1. Если произвольная точка Е принадлежит числовой прямой, то через точки М и Е можно провести только одну прямую, которая пересечет полуокружность. Из полуокружности можно опустить перпендикуляр на заданный отрезок. Таким образом, между точками отрезка от 0 до 1 и точками числовой прямой устанавливается взаимно одинаковое отображение, т.е. они равномощны.

2) множество действительных чисел не является счетным, т.е. оно не равно множеству натуральных чисел.

3). Множество действительных чисел является непрерывным множеством. Непрерывность множества действительных чисел состоит в том, что между любыми двумя действительными числами находится бесконечное множество только действительных чисел

6. Разбиение множества на классы. Примеры классификации. Отношение эквивалентности, его свойства. Взаимосвязь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы. Рассмотрим на примере. Пусть задано множество М (множество выпуклых многоугольников), образуем все подмножества данного множества: А 1 – множество треугольников; А2 – множество четырехугольников; А3 – множество пятиугольников; Ак – множество к-угольников. Множество М считается разбитым на классы, если выполняются следующие условия:

1. каждое подмножество А не пусто
2. пересечения любых двух подмножеств является пустым множеством
3. объединение всех подмножеств есть данное множество М

Разбиение множества на классы называется классификацией .

Отношение на множестве Х называется эквивалентным , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение называется рефлексивным , если любой элемент из множества Х находится в отношении сам с собой а ∈ Х, а R а (R – находиться в отношении). Отношение называется симметричным , если для любых двух элементов множества Х (а и в) из того, что а находится в отношении с в, будет следовать, что в находится в отношении с а (а, в ∈ Х, а R в → в R а). Отношение называется транзитивным , если для любых элементов а, в, с из того, что а R в и в R с → что а R с, а, в, с ∈ Х. На графе отношения эквивалентности есть петли, взаимно обратные стрелки и треугольные стрелки. Отношение эквивалентности, и только оно, связано с разбиением множества на классы. Это утверждение можно сформулировать в виде теоремы : Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то это отношение разбивает множество Х на классы, и наоборот, если множество Х разбито на классы, то на заданном множестве выполняется отношение эквивалентности. Например. Пусть задано отношение – жить в одном доме. Покажем, что множество жильцов в доме будет разбито на классы. А каждый класс, это отдельная квартира. Для данного разделения будут выполняться все необходимые условия разбиения множества на классы: а) каждый класс не пуст, т.к. в каждой квартире хотя бы 1 человек, но прописан, б) классы не пересекаются (1 человек не прописан в двух разных квартирах), в) объединение всех классов, т.е. жильцов каждой квартиры, и составляет множество жильцов дома.

18 . Теоретико-множественный подход к построению теории целых неотрицательных чисел. Отношения равенства, больше (меньше). Два множества А и В называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие, т.е., если каждому элементу множества А ставится в соответствие единственный элемент множества В и наоборот. Мощность или кардинальное число – это такое свойство, которое присуще любому множеству В, равномощному множеству А и не присуще ни какому другому множеству не равномощному множеству А. А~В n (А)=а – это мощность. Отношение равномощности является отношением эквивалентности, т.е. для него выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение равномощности разбивает множество всех множеств на классы эквивалентности. Для определения понятия натурального числа и нуля рассмотрим разбиение всех конечных множеств.

Пусть М это множество всех конечных множеств. М=К 0 Ка Кв, где Ко – это класс пустых множеств, Ка – это множество, содержащее равномощные множества а 1, а 2 , а 3 и т.д., Кв – это множество. Содержащее равномощные множества в 1 , в 2 , в 3 и т.д. Множество М может содержать и другие подмножества К различной природы, которые состоят из равномощных множеств. У каждого класса эквивалентности К есть общее то, что они состоят из одинакового количества элементов, других общих свойств нет. Целое неотрицательное число с теоретико-множественной точки зрения, есть общее свойство класса конечных равномощных множеств. Натуральное число есть общее свойство класса не пустых конечных равномощных множеств. Каждому классу приписывается кардинальное число (мощность). Классу пустое множество приписывается координальное число 0. Классу состоящему из множеств, имеющих 1 элемент приписывается число1. Классу, состоящему из множеств, имеющих 2 элемента приписывается число 2. (n(К 0)=0, n(К 1)=1, n(К 2)=2, n(Ка)=а).

Отношение равенства . Целые неотрицательные числа а и в называются равными, если множества А и В, численность которых они выражают, равномощны (А; n(А)=а, n(В)=в, А ~ В n(А)=n(В) а=в).

Теорема : отношение равенства во множестве целых неотрицательных чисел является отношением эквивалентности. Доказательство . Докажем, что отношение равенства обладает свойствами симметричности, транзитивности и рефлексивности.

Т.к. свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности выполняются, то отношение равенства является отношением эквивалентности.

Отношение меньше . Целое неотрицательное число а<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1)

Теорема: отношение меньше во множестве целых неотрицательных чисел является отношением строго порядка. Доказательство: Докажем, что отношение меньше обладает свойствами анти симметричности и транзитивности.

С 2 С 1 С 2 ~В 1 С 2 ~А n(А)=n(С 2) n(С 2)

А В С 1 С

В 1 С 2

7. Понятие кортежа упорядоченной пары. Декартово произведение множеств и его свойства. Число элементов в декртовом произведении множеств. Для введения понятия декартово произведение множеств рассмотрим понятие кортежа . Это понятие, как и понятие множество, является основным неопределенным понятием. Для кортежа важен порядок следования элементов. Элементы в кортеже могут повторяться. Число элементов в заданном кортеже называется его длиной. Кортеж длины 2 называется упорядоченной парой. Картеж обозначается () или < >. × - обозначение декартового произведения множеств. (а,в,а); (а,в,с) ≠ (в,а,с); (а,е,с)=(а,е,с). Декартовым произведением множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первая компонента является элементом первого множества, а вторая компонента элементом второго множества. А={а,в,с} В={1,2} А×В={(а,1),(а,2), (в,1),(в,2),(с,1),(с,2)} Свойство декартова произведения множеств (ДПМ). ДПМ не обладает свойством коммутативности и ассоциативности: А×В≠В×А. Выполняются свойства дистрибутивности ДПМ:1) относительно объединения множеств А×(В⋃С)=(А×В)⋃(А×С); 2) относительно пересечения множеств А×(В∩С)=(А×В)∩(А×С). Чтобы найти число элементов в ДП в двух и более множеств нужно знать число элементов в каждом множестве. Если число элементов равно n. Если n(A)=n, а n(B)=m, то n(A×B)=n*m. Пусть А={а1,а2,а3,…аn} В={в1,в2,в3,…вm}. Составим ДПМ А и В: (а1,в1) (а1,в2) (а1,в3) …(а1, вm) (а2,в1) (а2,в2) (а2,в3) …(а2, вm) (а3,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn,в2) (аn,в3) …(аn,вm) В каждой строчке эм-пар, таких строчек эн, значит всего перечислено эм на эн пар, следовательно число элементов в ДПМ А и В равно произведению числа элементов во множестве А на число элементов во множестве В.

8. Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствия. Виды соответствий. Соответствием эф между элементами множеств Х и У называют тройка множеств (Х;У; G f (джи от эф), джи от эф это подмножество ДП (декартового произведения). Множество Х называется областью отправления, множество У называется областью прибытия джи от эф – называется графиком данного соответствия. Областью определения соответствия эф называется множество тех элементов первого множества (т.е. области отправления), которым соответствуют элементы второго множества (т.е. области прибытия). Множеством значения соответствия эф называется множество элементов области прибытия, которым поставлены в соответствие некоторые элементы области отправления. Способы заданиясоответствий : перечисление его элементов, с помощью графика, с помощью графа, при помощи таблицы, словесно, алгебраически, т.е. уравнением, неравенством. Виды соответствий. Соответствия называются всюдуопределенным , если область отправления совпадает с областью определения. На графе такого соответствия от каждого элемента первого множества отходит хотя бы одна стрелка. Соответствие называется сюръективным , если его множество значений совпадает с областью прибытия. На графе такого соответствия к каждому элементу 2-ого множества подходит хотя бы 1 стрелка. Соответствие называется инъективным , если никаким разным элементам 1-ого множества не соответствует один и тот же элемент 2-го множества. На графе такого соответствия ни к какому элементу 2-го множества не подходит более 1 стрелки. Соответствие называется функциональным , если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное соответствие называется функцией . Среди всех функциональных соответствий выделяют всюдуопределительные соответствия, которые называют отображением . Соответствие называется взаимнооднозначным , если выполняются условия: 1) любым двум различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества У, 2) любому элементу множество У соответствует хотя бы один элемент множества Х. Два соответствия между множествами Х и У называются противоположными , если их графики взаимно дополняют декартово произведение Х на У. Соответствие называется обратным к данному соответствию, если данное соответствие выполняется в том и только том случае, когда выполняется обратное. Если данное соответствие есть подмножество декартова произведения множеств Х и У, то обратное соответствие – это подмножество декартового произведения множеств Х и У. Чтобы получить соответствие обратное данному. На его графе необходимо поменять направление стрелок.

19 . Сложение и вычитание в количественной теории целых неотрицательных чисел. Их свойства . Суммой двух целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью объединения двух непересекающихся множеств А и В, мощности которых соответственно равны а и в. а+в=с, n(С)=n(АUВ), n(АUВ)=n(А)+n(В).

Свойства сложения . 1. Сложение во множестве целых неотрицательных чисел всегда существует и определяется единственным образом. Докажем, что сумма всегда существует. Рассмотрим А и В, такие, что их пересечение пустое множество и число элементов А есть а, а мощность В есть – в. найдем объединение А и В. Так как объединение двух непересекающихся множеств всегда существует, а значит существует и сумма, а из определения суммы следует, что сложение всегда существует.

Докажем, что сумма определяется единственным образом. Существует С 1 и С 2 – неотрицательные целые числа. С 1 =а+в и С 2 =а+в. Сумма чисел а и в не зависит от того, какие множества А и В мы выбрали из класса равномощных множеств, а следовательно и объединение А и В, взятых из класса равномощных множеств не зависит от выбора множеств А и В, т.к мощности в каждом классе одинаковы, то С 1 =С 2 .

2. Каммутотивность сложения. Для любых целых неотрицательных чисел а и в выполняется свойство а+в=в+а. Из теории множеств знаем, что для АUВ=ВUА. Если равны множества, равны их численные значения. n(АUВ)=n(ВUА). Из теории множеств знаем, что мощность объединения равна сумме мощностей. N(А)+n(В)=n(В)+n(А).

3. Свойство ассоциативности. Для любых чисел а, в, с выполняется свойство: а+(в+с)=(а+в)+с. Из теории множеств известно, что для объединения множеств выполняется свойство ассоциативности: АU(ВUС)=(АUВ)UС, если равны множества, то равны их численные значения, n(АU(ВUС))=n((АUВ)UС). Из теории множеств известно, что мощность объединения равна сумме мощностей этих множеств, n(А)+n(ВUС)=n(АUВ)+n(С) n(А)+(n(В)+n(С))=(n(А)+n(В))+n(С) а+(в+с)=(а+в)+с.

Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью дополнения множества В до множества А, таких, что В принадлежит А, n(А)=а, n(В)=в.

Свойства разности . 1. Для того чтобы разность целых неотрицательных чисел существовала, необходимо и достаточно, чтобы а было больше или равно в.

Докажем : 1) достаточное условие существования разности. Дано: а - в = с, доказать: а в. По определению разности следует, что существует дополнение множества В до множества А, и это дополнение имеет мощность, которую можно найти из равенства, известного из теории множеств.

n () = n(А)-n(В). Из того, что В является подмножеством А следует, что число элементов в В меньше числа элементов А. n (В)в; В входит в А; n(В)

2). Необходимое условие. Дано а в. доказать существование разности (а-в). Если а>в, по определению отношения «меньше» существует множество А 1 , такое что А 1 входит в А и А 1 ~В. Составим разность А и А 1. Эта разность всегда существует (А- А 1 =С) , а следовательно существует С, которое является этой разностью. Из этих условий следует, что С является дополнением А 1 до А. С = 1А Мощность С есть мощность дополнения А 1 до А. n (С)=n( 1А)=n(А)-n(А 1) , так как А 1 ~ В, то n(А 1)=n(В), следовательно n(С)=n(А)-n(В), следовательно с=а-в.

2. Разность целых неотрицательных чисел находится единственным образом, так как разность есть мощность дополнения подмножеств до множества, а дополнение определяется единственным образом, то и разность целых неотрицательных чисел определяется единственным образом.

3. Для вычитания не выполняются свойства коммутативности и ассоциативности.

4. Вычитание суммы из числа. а-(в+с)=(а-в)-с. Из теории множеств известно А\(ВUС)=(А\В)\С, причем В Ì А; С Ì А; ВUСÌА.

n (А\(ВUС))=n((А\В)\С)

n(А)-n(ВUС)=n(А\В)-n(С)

n(А)-(n(В)+n(С))=(n(А)-n(В))-n(С)

а-(в+с)=(а-в)-с.

5. Вычитание числа из разности (а-в)-с=(а-с)-в. Доказательство основывается на свойстве разности множеств (А\В)\С=(А\С)\В.

6. Вычитание числа из суммы (а+в)-с=(а-с)+в. Доказательство опирается на свойство множеств (АUВ)\С=(А\С) UВ.

9.Функциональное соответствие. Свойства числовых функций. Соответствие называется функциональным , если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное соответствие заданное на числовом множес тве называется числовой называется функцией . Свойства числовых функций. 1. каждая функция имеет область определения и множество значений. 2. функция может быть возрастающей или убывающей. Функция называется возрастающей на промежутке а в, если для любых х1 и х2 х1 > х2 следует f (x1) > f (x2). Функция называется убывающей на промежутке а в, если для любых х1 и х2 из этого промежутка, из того, что х1 > х2 следует f (x1) < f (x2). 3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат. у = х 2 у = х 3 Четная не четная На практике часто встречаются функции, которые не являются четными и не четными. 4. функции могут быть периодичными. Функция называется периодичной, если существует такое число Т, что выполняется условие f(x+Т)=f(x). К периодичным относятся все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс). 5. функции могут иметь особые точки. Это точки пересечения с осями координат и точки экстремумов, т.е. точки минимума и максимума. Точка х 0 называется точкой минимума функции, если для всех Х из окрестности х0 выполняется условия f (x) > f (x0). Точка х0 называется точкой максимума функции, если для всех х из окрестностях х0 f(x)< f (x0). 6. функции могут иметь промежутки знаков постоянства, т.е. это те подмножества, области определения, элементы которых обращают функцию либо только в положительную, либо только в отрицательную. 7. функция может иметь точки разрыва, т.е. те значения переменной х, в которых у не существует (функции обратной пропорциональности). у = , если х = 0 Поиск на сайте:

2015-2020 сайт - Контакты - Последнее добавление

Отключите adBlock!
очень нужно

Слово «порядок» часто применяют в са-мых различных вопросах. Офицер дает команду: «По порядку номе-ров рассчитайся», арифметические действия выполняются в опре-деленном порядке, спортсмены становятся по росту, все ведущие шахматисты располагаются в определенном порядке по так назы-ваемым коэффициентам Эло (американский профессор, который раз-работал систему коэффициентов, позволяющую учитывать все ус-пехи и неудачи игроков), после первенства все футбольные команды располагаются в определенном порядке и т. д. Существует порядок выполнения операций при изготовлении детали, порядок слов в предложении (попробуйте понять, что значит предложение «на он старика посадил осла не»!).

Располагая элементы некоторого множества друг за другом, мы тем самым упорядочиваем их или устанавливаем между ними некоторое отношение по-рядка. Простейшим примером является естественный порядок натуральных чисел . Его естественность заключается в том, что для любых двух натураль-ных чисел мы знаем, какое из них следует за другим или какое из них больше другого, поэтому мы можем расположить натуральные числа в последова-тельности так, что большее число будет расположено, например, правее меньшего: 1, 2, 3, ... . Разумеется, последовательность элементов можно вы-писывать в любом направлении, а не только слева направо. Само понятие натуральных чисел уже содержит в себе идею упорядоченности. Устанавливая некоторое относительное расположение элементов какого-либо множества, мы тем самым задаем на нем некоторое бинарное отноше-ние порядка, которое в каждом конкретном случае может иметь свое назва-ние, например, "быть меньше", "быть старше", "содержаться в", "следовать за" и т. д. Символические обозначения порядка также могут быть разнооб-разными, например, Í, и т. д.

Главным отличительным признаком отношения порядка является наличие у него свойства транзитивности. Так, если мы имеем дело с последовательно-стью каких-то объектов x 1 , х 2 , ..., х n , ... , упорядоченных, например, по отно-шению , то из того, что выполняется х 1 х 2 ... х п ..., должно следо-вать, что для любой пары х i , х j элементов этой последовательности также выполняется x i x j :

Для пары элементов x i j в графе отношения мы проводим стрелку от вершины x i к вершине x j , т. е. от меньшего элемента к большему.

Граф отношения порядка можно упростить, если воспользоваться методом так называемых диаграмм Хассе. Диаграмма Хассе строится сле-дующим образом. Меньшие по порядку элементы располагают ниже, а большие - выше. Поскольку одного такого правила недостаточно для изо-бражения, проводят линии, показывающие, какой из двух элементов больше, а какой меньше другого. При этом достаточно нарисовать лишь линии для непосредственно следующих друг за другом элементов. Примеры диаграмм Хассе показаны на рисунке:

В диаграмме Хассе можно не указывать стрелки. Диа-грамму Хассе можно поворачивать в плоскости, но не произвольно. При поворотах необходимо сохранять относительное положение (выше - ниже) вершин диаграммы:

Отноше-ние R в множестве X называется отношением строгого поряд-ка, если оно транзитивно и асимметрично.

Множество, в котором определено отношение строгого порядка, назы-вают упорядоченным. Например, мно-жество натуральных чисел упорядочено отношением «меньше». Но это же множество упорядочено и другим отношением - «делится на» и «больше».

Граф отношения «меньше» в множестве натуральных чисел можно изобразить в виде луча:

Отношение R в X называется отношением нестро-гого (частичного)порядка , если оно транзитивно и антисимметрично. Всякое отношение нестрогого порядка рефлексивно.

Эпитет "частичный" выражает тот факт, что, возможно, не все элементы множества сравнимы в данном отношении.

Типичными примерами отношения частичного порядка являются отношения "не больше", "не меньше", "не старше". Частица "не" в названиях отношений служит для выражения их рефлексивности. Отношение "не больше" совпада-ет с отношением "меньше либо равно", а отношение "не меньше" то же са-мое, что и "больше либо равно". В связи с этим частичный порядок еще на-зывают нестрогим порядком. Часто отношение частичного (нестрогого) порядка обозначают символом "".

Отношение включения Í между подмножествами некоторого множества также является частичным порядком. Очевидно, что не любые два подмно-жества сравнимы по этому отношению. Ниже на рисунке показан частичный по-рядок по включению на множестве всех подмножеств множества {1,2,3}. Стрелки на графе, которые должны быть направлены вверх, не показаны.

Множества, на которых задан частичный порядок, называют частично упо-рядоченными, или просто упорядоченными множествами.

Элементы х и у частично упорядоченного множества называются сравни-мыми, если х у или у х. В противном случае они не сравнимы.

Упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется линейно упорядоченным , а порядок - линейным порядком. Линейный порядок еще называют совершенным порядком.

Например, множество всех действительных чисел с естественным порядком , а также все его подмножества, линейно упорядочены.

Объекты самой различной природы могут быть упорядочены иерархически. Вот несколько примеров.

Пример 1. Части книги упорядочены так, что книга содержит главы, главы содержат разделы, а разделы состоят из подразделов.

Пример 2.Папки в файловой системе компьютера вложены друг в друга, образуя ветвящуюся структуру.

Пример 3.Отношение родители - дети может быть изображено в виде так называе-мого генеалогического древа, которое показывает, кто чьим предком (или отпрыском) является.

Пусть на множестве А задан частичный порядок . Элемент х называется максимальным (минимальным) элементом множества А, если из того, что х у (у х), следует равенство х = у. Иначе говоря, элемент х является максимальным (минимальным), если для любого элемента у или неверно, что х у (у х ), или выполняется х = у. Таким образом, максимальный (минимальный) элемент больше (меньше) всех отличных от него элементов, с которыми он находится в отношении .

Элемент х называется наибольшим (наименьшим), если для любого у Î А выполняется у < х (х< у).

В частично упорядоченном множестве может быть несколько минимальных и/или максимальных элементов , но наименьших и наибольших элементов не может быть больше одного. Наименьший (наибольший) элемент является одновременно и минимальным (максимальным), но обратное утверждение неверно. На рисунке слева показан частичный порядок с двумя минималь-ными и двумя максимальными элементами, а справа - частичный порядок с наименьшим и наибольшим элементами:

В конечном частично упорядоченном множестве всегда суще-ствуют минимальный и максимальный элементы.

Упорядоченное множество, у которого есть наибольший и наименьший эле-менты, называется ограниченным . На рисунке показан пример бесконечного ограниченного множества. Разумеется, изобразить бесконечное множество на конечной странице нельзя, но можно показать принцип его построения. Здесь петли около вершин не показаны для упрощения рисунка. По той же причине не показаны дуги, обеспечивающие отображение свойства транзитивности. Другими словами, на рисунке представлена диаграмма Хассе отношения порядка.

Бесконечные множества могут не иметь максимальных, или минимальных, или тех и других элементов. Например, множество натуральных чисел (1,2, 3, ...) имеет наименьший элемент 1, но не имеет максимальных. Множество всех действительных чисел с естественным порядком не имеет ни наимень-шего, ни наибольшего элемента. Однако его подмножество, состоящее из всех чисел х < 5, имеет наибольший элемент (число 5), но не имеет наи-меньшего.